1. Contexte

La convection thermique, c'est à dire le mouvement d'un fluide engendré par des inhomogénéïtés de température, est un phénomène courant à de nombreux systèmes naturels et industriels. Bien que les premières études des régimes d'écoulements de convection susceptibles d'apparaître au sein d'une couche de fluide (monocompositionel) chauffée par le bas datent du début du XX^ème sciècle, ce système reste, à ce jour, très étudié pour l'incroyable variété de comportements qui peuvent s'y développer.
Ce n'est qu'il y a environ une trentaine d'année que l'étude de la convection de mélanges binaires (mélanges solvant-soluté non réactifs) fut abordée. Dans ces derniers, il existe un couplage entre gradients locaux de concentration et température, l'effet Soret, qui s'avère être une source supplémentaire de comportements dynamiques. Cette spécificité a mené à de multiples études sur les différents régimes convectifs (stationnaires et instationnaires) qui apparaissent alors. Ces travaux sont toutefois très majoritairement relatifs à des systèmes infinis ou du moins de très grande extension spatiale et l'influence du confinement sur les états convectifs de fluides binaires reste peu abordé.

2. Les mécanimes en jeu

On s'intéresse à un mélange de deux constituants (solvant et soluté) parfaitement miscibles. On se place dans le cas de faibles variations de température et de concentration (ou titre massique) de soluté au sein du mélange. Dans ces conditions, la masse volumique en un point du fluide binaire est alors une fonction linéaire des écarts en température et concentration locales par rapport à celle de référence. Le mélange étant dans le champ de pesanteur, ces fluctuations de densité impliquent des variations de forces de poussée d'Archimède locales susceptibles d'engendrer un mouvement du fluide.
Outre cette contribution de la concentration à dans la densité du mélange viennent s'ajouter des effets de couplage entre flux thermique et solutal au sein de celui-ci. L'existence de ces couplages engendrent les effets suivants:

• L'effet Dufour, qui rend compte de la contribution du gradient de concentration au flux de chaleur.
• L'effet Soret (appelée aussi la thermodiffusion), qui rend compte de la contribution du gradient thermique au flux massique.

Ces phénomènes impliquent en particulier que toute fluctuation de température engendrera une variation de concentration (NB: on choisit de désigner comme soluté le plus lourd des deux constituants du mélange) et vice versa. Il est toutefois acquis que la contribution de l'effet Dufour, contrairement à celle de l'effet Soret, peut être négligée lorsque l'on considère un liquide binaire.

Récapitulatif des deux mécanimes clés régissant le comportement d'un liquide binaire

Rôle et conséquences de l'effet Soret

Ainsi que mentionné plus haut, et précisé par les équations ci-dessus, température et concentration en tout point du mélange sont, d'une part, intimement liées (par l'effet Soret) et ont d'autre part toutes deux une incidence sur la densité locale du liquide.
Pour illuster cela, considérons l'exemple suivant: Soit un liquide binaire isolé (c.-à-d.: sans apport ou perte de soluté vers l'extérieur), au repos (c.-à-d.: pas de mouvement de fluide) et inhomogène en température. Dans cette situation, le flux massique (J) est identiquement nul en tout point du mélange et gradients thermique et solutal sont conséquement directement proportionnels. Toute augmentation de température (T) engendre une diminution de la masse volumique; Mais, comme le coefficient de Soret S_T peut être positif ou négatif, on a alors les deux cas de figure suivants:

• Si S_T > 0, Une augmentation de T entrainera non seulement une diminution de la masse volumique, mais aussi une diminution de C qui engendrera de même une diminution de la masse volumique. On parle alors de gradients thermique et solutal coopératifs; le soluté (terme qui désigne, rappelons le, le plus lourd des deux constituants du mélange binaire) migre vers les régions froides.
• Si S_T < 0, cette fois, l'augmentation de T entrainera une augmentation de C qui engendrera une augmentation de la masse volumique. On parle alors de gradients thermique et solutal compétitifs; le soluté migre vers les régions chaudes.

Le cas de gradients compétitifs est celui propice à l'émergence des comportements dynamiques évoqués en introduction. Les travaux présentés ici sont relatifs à ce type de liquides binaires.

3. Equations d'évolution et paramètres

L'évolution des champs (vitesse v, pression p, température T et concentration de soluté C) est contrainte par les lois de conservation (de la quantité de mouvement, de la masse, de l'énergie et des espèces chimiques). Pour un liquide binaire incompressible, ces équations (une fois adimensionnées par rapport à des échelles de référence), forment le système suivant:


Cette version adimentionnée des équations d'évolution fait apparaître les quatres paramètres suivant:


Les trois premiers paramètres (nombre de Prandtl Pr, nombre de Lewis Le et paramètre de séparation Psi) dépendent de la nature du fluide considéré et sont donc fixés par le choix du mélange auquel on s'intéresse.
Le nombre de Rayleigh, par contre, est directement proportionel à la différence de température appliquée à la couche de fluide et est ainsi le paramètre de contrôle du système: L'étude des régimes de convection d'un liquide binaire donné en fonction de l'écart de température qui lui est imposé se résume à l'étude des solutions du problème en fonction de Ra.

4. Les états du système

Les mélanges binaires offrent, d'une manière générale, une très grande variété de comportements dynamiques, particulièrement pour des liquides tels que Psi < 0.
Typiquement, l'évolution de tels système, en fonction de Ra, est la suivante:

• Pour Ra suffisament petit (donc pour une couche de fluide légèrement chauffée par le bas), le systéme reste dans un état conductif: Il n'y a aucun mouvement et la couche fluide conduit la chaleur.
• Lorsque Ra dépasse une valeur seuil Ra _Hopf, l'état conductif devient instable: toute perturbation, aussi faible soit-elle, donnera naissance á des oscillations dont l'amplitude croit exponentiellement dans le temps. Après cette phase de croissance, les oscillations saturent en amplitude et fréquence.
• Cet état de convection oscillante atteint, on peut suivre son évolution en augmentant ou diminuant la valeur de Ra. Cette branche de solutions oscillantes existe ainsi sur une plage en Ra qui s'étend en deçà de Ra _Hopf, pour ne disparaitre que lorsque Ra < Ra _SN. Il y a coexistence entre états conductif et oscillant stables sur [ Ra _SN ; Ra _Hopf].
  La branche de solutions oscillantes s'étend, à Ra croissant, jusqu'à Ra _osc-sta où elle devient instable et au delà de cette nouvelle bifurcation, le régime convectif devient stationnaire.
La branche de solutions stationnaire, déconnectée de celle des états oscillants, peut à son tour être parcourue à Ra croissant ou décroissant.

Pour résumer, les coexistences entre ces trois états (conductif, convectif oscillant ou stationnaire) impliquent l'existence de situations d'hystérésis entre ceux-ci: Pour certaines valeurs de Ra, le système peut être dans l'un ou l'autre de ces régimes stables; l'état "sélectionné" dépendant de l'histoire du système.

5. La configuration étudiée

On s'intéresse aux écoulements convectifs de liquides binaires confinés dans un cylindre vertical chauffé par le bas, et en particulier à l'influence du confinement sur la dynamique de ces systèmes.
On étudie pour cela, par simulation numérique directe, l'évolution des états axisymétriques du fluide, en fonction de la différence de température imposée entre les bas et haut du système.
Les simulations sont réalisées pour des géométries de rapport de forme (rapport rayon sur hauteur du cylindre) 2, 1 et 1/2. De plus, deux types de conditions cinénématiques sur la paroi latérale sont traitées: adhérence ou glissement, selon que cette frontière représente une paroi solide ou une surface libre. La première de ces configurations (dite "rigide") correspond au cas d'un fluide confiné dans une enceinte cylindrique, la seconde (dite "libre") correspond quant à elle au cas d'un pont liquide.

Récapitulatif de la configuration
Le domaine de calcul 2D des écoulements correspond à une section verticale du cylindre (plan en jaune dans le schéma ci-contre) Conditions aux frontières: Températures imposées en haut et bas du cylindre, Paroi latérale adiabatique (pas de flux de chaleur traversant celle-ci), Parois imperméables (pas de flux de matière traversant celles-ci), Adhérence du fluide aux parois horizontales (vitesses nulles le long de celles-ci). Paramètres "géométriques": Le rapport d'aspect (rapport rayon sur hauteur) du cylindre, La condition cinématique sur la paroi latérale: Adhérence ou Glissement.

Aspects numériques

Caractéristiques principales du code employé:

• Simulation numérique directe, d'ordre 2 en temps. Schéma d'Adams-Bashforth/Euler retardé.
• Méthode pseudospectrale (basée sur les polynômes de Tchebychev) en espace, avec des points de collocation de Gauss-Lobatto dans la direction verticale et Gauss-Radau dans la direction radiale.
• Résolution de l'équation de Navier-Stokes par découplage vitesse-pression grace à une méthode de projection-diffusion.

6. Principaux résultats

Ma modeste contribution au domaine est étalée dans la page publications associée (articles, comptes rendus de congrès, manuscrit de thèse).