Dans le cadre des polynômes de Tchebychev
1. Formules générales
Les éléments de la matrice de passage
P
et de son inverse
P -1 sont tels que:
Où les x
i sont les points de collocation, les
w
i sont les poids et
(,)
N le produit scalaire
discret de la quadrature considérée.
Pour un jeu de points de collocation donné, ces quantités sont
aisément déterminées, en particulier
en tirant parti de la relation:
pour construire les P
ij, et du fait que le terme
T
i(x
j ), nécessaire pour construire
l'élément P
ij-1,
est simplement P
ji.
On peut toutefois déterminer les éléments des matrices
de passage plus rapidement (et plus précisément,
puisqu'avec un minimum d'opérations numériques
intermédiaires) en insérant l'expression des points de
collocation dans ces relations, puis en remaniant le tout à
l'aide des identités trigonométriques usuelles.
2. Expression des éléments des
matrices de passage
Les expressions des points de collocation et poids des quadratures
sont données dans la
page
traitant de ce sujet.
2.1 Points de collocation de Gauss
Matrice de passage (de l'espace physique
à l'espace spectral)
P :
En d'autres termes, il faut construire un vecteur auxiliaire
z, qui se résume en fait à un jeu de points
de collocation de Gauss-Lobatto (basé sur 2N+3 points), puis
d'en redistribuer les éléments.
Matrice de passage (de l'espace spectral
à l'espace physique)
P -1 :
2.2 Points de collocation de Gauss-Radau
Matrice de passage (de l'espace physique
à l'espace spectral)
P :
En d'autres termes, les éléments de la matrice sont simplement
les points de collocation eux-mêmes, adéquatement
redistribués.
Matrice de passage (de l'espace spectral
à l'espace physique)
P -1 :
2.1 Points de collocation de Gauss-Lobatto
Matrice de passage (de l'espace physique
à l'espace spectral)
P :
Comme dans le cas des points de Gauss-Radau, les éléments
de la matrice sont les points de collocation,
adéquatement redistribués.
Matrice de passage (de l'espace spectral
à l'espace physique)
P -1 :