Arithmurgistan: De arithmurgie (du grec arithmos: nombre et ergon: travail; terme inventé, à ma connaissance, par John P. Boyd pour désigner la manipulation intensive de nombres, aussi connu sous l'appellation de "number-crunching" en anglais) et du persan (fârsi) é-stan: le pays de (d'où, soit dit en passant, les noms de pays tels que Pakistan, Afghanistan,...).

Ainsi que le stipule son nom, l'Arithmurgistan est dédié aux méthodes et outils de calcul scientifique. A terme, cette rubrique est vouée à se remplir de pages et documents relatifs à la description, l'implémentation et l'application d'un certain nombre d'outils classiques: résolution de systèmes linéaires et non linéaires, interpolation, dérivation, intégration, recherche de valeurs et vecteurs propres, méthodes de type différences finies et pseudospectrales pour la résolution de systèmes d'équations aux dérivées partielles, schémas temporels, ...

Thèmes et sous-rubriques:

Interpolation numérique
• Utilisation des polynômes de Lagrange: méthode et limitations, oscillations de Runge, influence du choix des points de collocation...
• Interpolation, du point de vue d'un développement sur les polynômes de Tchebychev

Intégration numérique
• Cas général: Méthode et formules pour un jeu de points quelconques.
• Sur des points équidistants: Formules de Newton-Cotes (trapèzes, Simpson,...).
• Via un développement sur les polynômes de Tchebychev.

Dérivation numérique
• Evaluation des dérivées via les polynômes de Lagrange: matrices de dérivation sur des jeux de points de collocation quelconques.
• Dérivation sur des points de collocation équidistants: Expressions des matrices de dérivation (sur l'ensemble des points de collocation) et expressions des stencils de dérivations successives (dans le cadre d'approximations aux différences finies centrées).
• Dérivation du point de vue du développement sur les polynômes de Tchebychev, expression des matrices de dérivation sur les points de collocation de Gauss, Gauss-Radau et Gauss-Lobatto.

Les polynômes de Tchebychev
• Généralités sur les polynômes de Tchebychev et les jeux de points de collocation associés (Gauss, Gauss-Radau et Gauss-Lobatto).
• Sur les quadratures de Gauss, Gauss-Radau et Gauss-Lobatto dans le cadre des polynômes de Tchebychev.
• Procédures pour construire les matrices de passage entre espaces physique et spectral.

Résolution numérique d'équations différentielles
Intégration d'équations différentielles ordinaires:
• Schémas d'intégration temporelle pour la résolution d'équations différentielles ordinaires: Généralités, quelques schémas à pas unique (Euler, Crank-Nicholson, Runge-Kutta), quelques schémas à pas multiples (Euler retardé, Adams-Bashforth, Adams-Moulton).
• Quelques mots sur l'ordre des schémas d'intégration temporelle.

Equations différentielles avec conditions aux limites:
• Méthode des différences finies pour la résolution d'une équation différentielle d'ordre 2 avec conditions aux limites (Dirichlet, Neumann ou mixtes), assortie d'un petit exemple traité à l'ordre 2 et à l'ordre 4.
• Résolution d'une équation différentielle d'ordre 2 avec conditions aux limites (Dirichlet, Neumann ou mixtes) par méthode pseudospectrale (Tchebychev, sur les points de collocation de Gauss-Lobatto).

Divers
• Page de liens vers des sites/ressources WWW portant sur le calcul scientifique et les méthodes numériques.