Dérivation numérique

Polynômes de Lagrange

1. En bref

On peut utiliser (n+1) valeurs y i = f(x i) d'une fonction f(x) pour construire un polynôme (de degré n) P(x).
Connaissant P(x), sensé bien représenter f(x) sur l'intervalle considéré, on a accès, par les dérivées de P(x), a celles de f(x).

2. Expressions des dérivées

Partant de l'expression du Polynôme d'interpolation de Lagrange P n(x) aux points de collocation (les x i):
Polynôme de Lagrange

La dérivée première est:
Dérivée première du polynôme de Lagrange

Et la dérivée seconde:
Dérivée seconde du polynôme de Lagrange

3. Valeurs des dérivées aux points de collocation

Les expressions ci-dessus, très lourdes à manipuler, s'avèrent utiles pour évaluer les valeurs des dérivées aux points de collocation x i.
Les y i(d) = P n(d)(x i) s'expriment ainsi comme combinaisons linéaires des y i. Ce système peut donc s'écrire sous la forme d'un produit matrice vecteur: D n(d)×y = y(d)y(d) et y sont les vecteurs contenant les y i(d) et y i et D n(d) est la matrice de dérivation (d)ème dont les éléments sont: D i,j(d) = L j(d)(x i).

Ainsi, sur 3 points (donc pour n=2), la matrice de dérivation première D 2(1) est:
Matrice de dérivation première (sur 3 points)

et la matrice de dérivation seconde D 2(2) est:
Matrice de dérivation seconde (sur 3 points)

Remarques:

4. Expressions des matrices de dérivation première et seconde pour n=3

Après quelques calculs, on arrive à l'expression suivante pour D 3(1):
Matrice de dérivation première (sur 4 points)

Et la matrice de dérivation seconde D 3(2) est donnée par:
Matrice de dérivation seconde (sur 4 points)

5. Expressions des matrices de dérivation première et seconde pour n=4

On obtient, pour D 4(1):
Matrice de dérivation première (sur 5 points); colonnes 1 à 3
Matrice de dérivation première (sur 5 points); colonnes 4 et 5

Et pour D 4(2):
Matrice de dérivation seconde (sur 5 points); colonne 1
Matrice de dérivation seconde (sur 5 points); colonne 2
Matrice de dérivation seconde (sur 5 points); colonne 3
Matrice de dérivation seconde (sur 5 points); colonne 4
Matrice de dérivation seconde (sur 5 points); colonne 5

Petit formulaire (fichier PDF, 4 pages, 44k) comprenant l'expression de ces matrices.

 Liens connexes: Expression des matrices de dérivation pour des points de collocation équidistants
Interpolation sur un jeu de points quelconques via les polynômes de Lagrange
Dernière mise à jour: 16/12/04
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