Schémas à pas multiples (Euler retardé, Adams-Bashforth, Adams-Moulton)

1. Contexte

On recherche la solution de l'équation différentielle ordinaire: Où l'expression du second membre F(x,t) et la valeur de la condition initiale x(t = 0) sont données.

On s'intéresse ici aux schémas d'intégration temporelle à pas multiples, c.-à-d. permettant de determiner la solution à l'instant t_i+1 à partir de celles obtenues aux instants antérieurs.
Pour alléger la notation, x_k représente, dans ce qui suit, x(t_k); de même, F_k signifie F(x(t_k),t_k).

2. Schémas d'Euler retardé

Principe: L'équation est évaluée à l'instant t_i+1. La dérivée temporelle est déduite de la dérivée du polynôme d'interpolation basé sur x_i+1, x_i, x_i-1, ...


Ces schémas sont implicites.

3. Schémas d'Adams-Bashforth

Principe: Le développement de Taylor de x_i+1 permet d'exprimer x_i+1 en fonction de x_i et de ses dérivées successives. Or, d'après l'équation différentielle (que l'on cherche à résoudre), x'_i =  F_i, x"_i =  F'_i, ..., ce qui mène à une expression donnant x_i+1 en fonction de x_i, F_i et ses dérivées successives F'_i, F"_i,... Ces dernières sont évaluées à l'aide du polynôme d'interpolation (et ses dérivées) basé sur les valeurs F_i, F_i-1, ...
On obtient ainsi les schémas suivants:

Ces schémas sont explicites.

4. Schémas d'Adams-Moulton

Principe: On procède de même que pour les schémas d'Adams-Bashforth, mais à partir du développement de Taylor "arrière" de x_i+1-1 permettant d'exprimer x_i en fonction de x_i+1, x'_i+1, x"_i+1, etc.
On aboutit aux expressions suivantes:
Ces schémas sont implicites.

5. Schémas Prédicteurs-Correcteurs

On peut combiner des schémas afin d'utiliser au mieux le(s) avantage(s) des uns et des autres. Un exemple classique est de combiner les schémas d'Adams-Bashforth et Adams-Moulton afin d'éviter la délicate résolution d'un système implicite de ces derniers. On emploie dans un premier temps un schéma (d'ordre N) d'Adams-Bashforth pour calculer une première approximation (phase prédicteur) de x_i+1, x^p_i+1. C'est cette prédiction qui est ensuite injectée dans les calculs des termes du second membre (les F_k) d'un schémas d'Adams-Moulton.
On obtient ainsi par exemple en combinant AB2 et AM2:

6. Aspects pratiques

Le fait que ces schémas reposent sur la connaissance de valeurs (de x et/ou F) à plusieurs instants antérieurs pose généralement un problème lors de l'initialisation de la procédure d'intégration temporelle. Par exemple, pour illustrer ce problème, si l'on dispose de la condition initiale x₀ (et conséquement de F₀ ) et que l'on souhaite utiliser le schémas AB2, alors x₁ s'exprime en fonction de x₀ , F₀ et F_-1 ; c'est (évidement) ce dernier terme qui pose problème (puisqu'il dépend de x_-1 , quantité inconnue). Pour remédier à cette difficultée d'initialisation, il faut avoir recours à l'un des stratagèmes suivant:

• Inventer (où plutôt extrapoler) les valeurs manquantes; démarche quelque peu hasardeuse, mais justifiable dans certains contextes, par exemple lorsqu'il s'agit d'étudier l'évolution temporelle d'un système physique initialement au repos.
• Utiliser une(des) variante(s) d'ordre(s) inférieur(s) du schéma sur la(les) première(s) itération(s). Pour l'exemple ci-dessus, on calculerait ainsi x₁ à l'aide du schéma AB1 (c.-à-d. Euler explicite à pas unique). L'intérêt pratique de cet approche découle du fait que si on a déjà implémenté une procédure de résolution associée à un schémas d'ordre k, adapter/modifier cette dernière pour construire une procédure d'ordre inférieur ne demande finalement que peu de temps (et de sueur).
• Utiliser un schémas à pas unique (de même précision temporelle) pour calculer la(les) première(s) valeurs de x. Formellement, c'est l'option la plus sensée; malheureusement, c'est la plus lourde à mettre en œuvre puisqu'il faut implémenter deux solvers (aux fonctionnements assez distincts).