Schémas d'intégration temporelle

Généralités

1. Intégration d'équations différentielles ordinaires

1.1. Introduction

Une équation différentielle ordinaire (d'ordre 1) est de la forme:
Equation différentielle d'ordre 1 (forme générique)
Où l'expression du second membre F(x,t) et la valeur de la condition initiale x(t = 0) sont données.
Dans les cas les plus simples, x(t) représente une seule variable. Plus généralement (lorsqu'il s'agit d'un système d'équations différentielles couplant plusieurs variables), x(t) est un vecteur regroupant les inconnues.

La (les) solution(s) x(t) s'étend(ent) a priori sur l'intervalle semi-infini des t positifs. Conséquement, la procédure de résolution numérique de l'équation n'est pas la détermination d'une solution approchée "en bloc" sur un intervalle (straégie parfaitement adaptée pour la résolution d'équations différentielles avec conditions aux limites); on cherche plutôt à "suivre" l'évolution de x(t), depuis sa condition initiale x(t = 0) jusqu'à une valeur de t donnée (bien que par ailleurs parfaitement arbitraire).

Typiquement, ce type de problème aux conditions initiales concerne l'évolution temporelle d'un système; on désigne donc les procédures de résolution de schémas d'intégration temporelle ou, d'une façon plus imagée, de procédure de marche dans le temps (de "time marching" en anglais).
Les principes de bases de cette approche sont simplement de subdiviser le temps t en instants successifs ti (le plus souvent régulièrement espacés; c.-à-d. tels que ti = i.h ) et de construire une approximation numérique reliant la solution (encore indéterminée) à l'instant tn : x(tn) à celle(s) du (ou des) instant(s) précédent(s) (connus).
Ainsi, connaissant la condition initiale x(t0), on construit x(t1), qui sert ensuite à déterminer x(t2), qui permettera de calculer x(t3), ...

Bien évidement, un schémas d'intégration temporelle employé sera plus ou précis et fiable selon le(s) degré(s) d'approximation(s) qu'il inclue. Entre autres critères, on distingue en particulier l'ordre des différements schémas qui donne (au moins théoriquement) le taux de convergence, en fonction du pas de temps (l'écart entre les instants successifs calculés). Voir la page sur l'ordre des schémas temporels pour plus de détails sur ce sujet.

1.2. Construction de systèmes équivalents d'ordre 1

Lorsqu'une équation différentielle ordinaire (ou un système d'équations différentielles ordinaires) contient des dérivées d'ordre supérieur (à 1), il est toujours possible de construire un système équivalent d'ordre 1 en introduisant des variables intermédiaires. Ces variables intermédiaires sont simplement les dérivés successives des variables initiales.
Exemple: L'équation différentielle d'ordre 2:
Equation différentielle d'ordre 2 (forme générique)

devient, en posant y(t) = x'(t), le système équivalent (de 2 équations d'ordre 1):
Système équivalent de l'équation différentielle d'ordre 2

1.3. Les schémas d'intégration temporelle

On dispose d'un large éventail de possibilités pour discrétiser les termes (dx/dt et F(x,t)) de l'équation différentielle. Suivant les approches, on distingue les deux "familles" de schémas d'intégration temporelle suivantes: On distingue de plus, suivant la façon dont est discrétisé le second membre F(x,t), les formulations suivantes: Description de quelques schémas à pas unique (Euler, Crank-Nicholson, Runge-Kutta), schémas à pas multiples (Euler retardé, Adams-Bashforth, Adams-Moulton).

2. Intégration d'équations différentielles aux dérivées partielles

Ce qui est écrit ci-dessus s'applique également aux équations aux dérivées partielles. Pour celles-ci, le second membre contient des dérivées partielles par rapport à des paramètres autre que t (typiquement des des dérivées par rapport aux variables d'espace). Ce qui signifie que, une fois la discrétisation temporelle effectuée, il faudra résoudre un système différentiel (aux conditions aux limites) pour déterminer l'état du système à l'instant tn+1, résolution à renouveller à chaque itération temporelle.

 Liens connexes: Résolution d'équations différentielles avec conditions aux limites: méthode des différences finies, méthode pseudospectrale
Dernière mise à jour: 28/04/08
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