Intégration numérique sur des points équidistants

Formules de Newton-Cotes

1. Contexte

On souhaite évaluer l'intégrale d'une fonction f(x) sur un intervalle [A,B] = [x 0,x m]. L'intervalle est subdivisé en m sous-intervalles de taille h et les valeurs y i = f(x i) aux points x i = x 0+i×h , i = 0, ... , m sont connues.
Etant donné que l'on peut, á l'aide de n points, construire un polynôme de degré (n-1) et que l'integrale de ce dernier (sur [x 0,x n]) peut s'écrire sous la forme d'une somme pondérée des y i correspondants, l'évaluation de l'intégrale de f(x) sur [A,B] se résume de même à une somme pondérée des y i.

2. Formules de Newton-Cotes

En écrivant que l'intégrale de f(x) sur [x 0,x n] peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des y i , on arrive à:

Formule de Newton-Cotes

Les valeurs de A et des coefficients ai sont alors:

Nom usuel de la formule  n   A   a0   a1   a2   a3   a4   a5   a6 
Trapèzes 1 2 1 1
Simpson 2 3 1 4 1
"Newton-Cotes 3" 3 8 3 9 9 3
Boole-Villarceau 4 45 14 64 24 64 14
Hardy 6 140 41 216 27 272 27 216 41

Remarque:

3. Aspects pratiques

Les formules de Newton-Cotes souffrent du même problèmes que les polynômes d'interpolation sur points équidistants: une mauvaise représentation de la fonction f(x) sur les bords du domaine.
En pratique, on utilise ainsi un stencil composé de peu de points (par exemple 3, pour la formule de Simpson) et le calcul de l'integrale de f(x) sur [x 0,x m] est ramené à la somme de celles, évaluées par la formule de Simpson, calculées sur [x 0,x 2], [x 2,x 4],...

3.1 Un exemple pour illuster le tout

Soit à déterminer l'intégrale de f(x) = cos(pi.x).exp(x) sur [-1;1]:

Fonction f(x)=cos(pi.x).exp(x)

f(x) étant connue, elle peut être évaluée en n'importe quelle valeur de x, et donc n'importe quel jeux de x i sur lesquels utiliser les formules de Newton-Cotes. En augmentant le nombre de points (et donc le nombre de stencils associés à la méthode employée), on tends vers la solution exacte, ainsi que l'illustre la figure suivante:

Erreur relative sur l'évaluation de l'intégrale de f(x) en fonction du nombre de points et de la méthode

Où on retrouve les faits suivants:

3.2 Autres commentaires et remarques

Lorsqu'il s'agit de calculer l'intégrale d'une fonction f(x) connue (telle que celle de l'exemple ci-dessus), choisir les x i (et calculer les f(x i) correspondants) ne pose pas de problème particulier.
Il arrive toutefois souvent que l'on ne dispose pas de la forme de la fonction f(x), par exemple lorsque les valeurs aux points x i sont issues d'un calcul numérique, et que l'on ne puisse donc pas "raffiner" l'évaluation de l'intégrale en augmentant le nombre de points; la seule alternative repose alors sur l'emploi de formules d'ordres plus élevé. Se pose alors le problème pratique suivant: le nombre de points (m+1) sur lequel calculer l'intégrale est fixe, tout comme ceux des stencils associés aux diverses formules de Newton-Cotes (par ex.: la formule de Boole-Villarceau, basée sur un stencil de 5 points, ne peut s'appliquer que sur des paquets de 5,9,11,... (c.-à-d.: 1+4.n, n=1,2,...) points). On se trouve alors obligé d'ultiliser la formule choisie sur autant de points que possible, puis d'utiliser une formule plus limitée sur l'intervalle restant.

 Liens connexes: Intégration sur des points non-équidistants: Méthode et formules
Procédure d'intégration dans le cadre d'un développement sur les polynômes de Tchebychev.
Dernière mise à jour: 5/11/04
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