1. Préliminaires
Disposant de la représentation d'une fonction f(x), sous la forme
d'un polynôme d'interpolation de degré N f
N(x) ,
on peut évaluer l'intégrale de f(x) sur [-1;1]
en intégrant f
N(x).
Le polynôme d'interpolation f
N(x),
développé sur les polynômes de Tchebychev, est:
Où les coefficients spectraux c
k sont
complètement déterminés (voir
la page à ce sujet).
2. Intégration
L'intégration de f
N(x) se résume à
une somme (pondérée des coefficients c
k)
des N premiers polynômes de Tchebychev T
k(x).
Or, la valeur de l'intégrale sur [-1;1] des T
k(x)
est bien connue:
Qui permet d'écrire:
L'intégration se ramène ainsi à une simple
somme pondérée des coefficients spectraux pairs.
3. Aspects pratiques
Comme toujours, lorsqu'il s'agit des polynômes de Tchebychev, il est
impératif de travailler sur l'intervalle [-1;1].
Lorsqu'on s'intéresse à un autre domaine, par exemple
[z
A;z
B],
il faut se ramener à [-1;1]
par un changement de variable. En clair, si z est dans
[z
A;z
B],
on passe à x dans [-1;1]
par le changement de variable z = R.x + K,
avec R = (z
B-z
A)/2
et K = (z
B+z
A)/2.
A ce propos,
ne pas oublier de multiplier le resultat de l'integration (par rapport
à x) sur [-1;1],
par R pour obtenir la valeur
de l'intégrale (par rapport à z) sur
[z
A;z
B].