Intégration numérique via les polynômes de Tchebychev

1. Préliminaires

Disposant de la représentation d'une fonction f(x), sous la forme d'un polynôme d'interpolation de degré N fN(x) , on peut évaluer l'intégrale de f(x) sur [-1;1] en intégrant fN(x).
Le polynôme d'interpolation fN(x), développé sur les polynômes de Tchebychev, est:
Polynôme d'interpolation de Tchebychev
Où les coefficients spectraux ck sont complètement déterminés (voir la page à ce sujet).

2. Intégration

L'intégration de fN(x) se résume à une somme (pondérée des coefficients ck) des N premiers polynômes de Tchebychev Tk(x).
Or, la valeur de l'intégrale sur [-1;1] des Tk(x) est bien connue:
Intégrale, sur [-1;1], des polynômes de Tchebychev
Qui permet d'écrire:
Expression de l'intégrale, sur [-1;1], du polynôme d'interpolation
L'intégration se ramène ainsi à une simple somme pondérée des coefficients spectraux pairs.

3. Aspects pratiques

Comme toujours, lorsqu'il s'agit des polynômes de Tchebychev, il est impératif de travailler sur l'intervalle [-1;1].
Lorsqu'on s'intéresse à un autre domaine, par exemple [z A;z B], il faut se ramener à [-1;1] par un changement de variable. En clair, si z est dans [z A;z B], on passe à x dans [-1;1] par le changement de variable z = R.x + K, avec R = (z B-z A)/2 et K = (z B+z A)/2.
A ce propos, ne pas oublier de multiplier le resultat de l'integration (par rapport à x) sur [-1;1], par R pour obtenir la valeur de l'intégrale (par rapport à z) sur [z A;z B].

 Liens connexes: Les polynômes de Tchebychev, quadratures et points de collocation associés
Interpolation via les polynômes de Tchebychev
Dernière mise à jour: 30/12/04
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