Exemple: Utilisation des différences finies
d'ordre 4
1. Problème traité
Soit à résoudre l'équation différentielle:
Et ce, dans le cadre des trois jeux de conditions aux limites,
de type Dirichlet (D), Neumann (N) ou mixtes (M):
Afin d'illustrer la
procédure générale,
on se focalise ici sur la résolution du problème
sur 8 points de collocation x
i
équirépartis sur
l'intervalle (jeu de points identique
à celui utilisé pour traiter cet exemple
à
l'ordre 2).
En clair, on aura ici
x
0 = x
A = -1 ,
x
7 = x
B = +1 et
conséquemment
x
i = x
0 + i.h (pour
i = 0,...,7), avec h = (x
B
- x
A) / 7 = 2 / 7.
2. Discrétisation de l'équation
différentielle
2.1. Utilisation des stencils pour construire
les matrices de dérivation étendues
Sur cinq points équidistants (espacés d'un pas h),
les
matrices
de dérivation liant les valeurs nodales consécutives
{y
i-2,
y
i-1,
y
i,
y
i+1,
y
i+2}
et leurs
dérivées nodales (première et seconde)
sont:
Et
Ces stencils de base vont servir à construire les matrices
de dérivation étendues
d 4(1) et
d 4(2).
Plus spécifiquement, les deux premières (et dernières)
lignes
de
D 4(1)
et
D 4(2)
serviront à construire celles de
d 4(1) et
d 4(2), tandis que
les lignes médianes fourniront les approximations centrées
relatives à y
2 ,...,y
5.
On obtient ainsi la matrice de dérivation (première)
étendue
d 4(1):
et la matrice de dérivation (seconde)
étendue
d 4(2):
2.2. Construction de l'opérateur
différentiel L
Les éléments de l'opérateur différentiel
se résument ici à:
L
ij =
d
4 ij(2) +
2 d
4 ij(1) -
3 d
ij(0)
Où, pour mémoire,
d(0) n'est
rien d'autre que la matrice identité.
Au final, la version discrétisée de
l'équation différentielle
L.
y = 
S
est donc:
3. Prise en compte des conditions aux limites
Imposer les conditions aux limites du problème
aux noeuds x
0 et x
7
impose de réécrire les première et dernière
lignes du système discrédisé.
3.1. Conditions aux limites de type Dirichlet
Les valeurs nodales y
0
= y(x
A) = Y
A
et y
7
= y(x
B) = Y
B
sont connues, ce qui permet de réécrire
le système reduit aux seules valeurs nodales inconnues:
3.2. Conditions aux limites de type Neumann
Seules les valeurs des dérivées aux frontières
sont connues:
y'(x
A) = Y'
A
et
y'(x
B) = Y'
B.
D'après
D 4(1),
appliqué au (sous-)vecteurs
[y
0,
y
1,
y
2,
y
3,
y
4] et
[y
3,
y
4,
y
5,
y
6,
y
7], on déduit les relations à satisfaire
aux frontières:
Et le système linéaire devient donc:
3.3. Conditions aux limites mixtes
On dispose des relations aux frontières:
C
A y(x
A)
+ y'(x
A) = K
A
et
C
B y(x
B)
+ y'(x
B) = K
B ,
où C
A, K
A,
C
B et K
B sont des constantes connues.
En utilisant (comme pour le cas Neumann décrit ci-dessus)
D 4(1) pour exprimer
les valeurs de y'
0 et
y'
7 en fonction des valeurs nodales voisines,
on obtient les relations:
Et le système linéaire devient alors:
4. Remarques et autres compléments
-
Document
récapitulatif (fichier PDF,5 pages, 53k) de cet exemple,
incluant la procédure pour un traitement
du problème
à l'ordre 2.
- Les systèmes linéaires obtenus sont
quasi-pentadiagonaux:
Pour des conditions aux limites de type Dirichlet,
les première et dernière lignes contiennent
quatre termes, pour des conditions aux limites de
type Neumann et mixte, ce sont cette fois
les deux premières et deux dernières lignes
qui contiennent quatre termes.
On peut facilement ramener les
systèmes linéaires à une forme pentadiagonale
(en particulier si l'on souhaite utiliser un solver
spécifique à ce type de systèmes)
en se débarassant des termes offensants par
élimination Gaussienne.
-
L'extension de ces procédures à un nombre plus important
de points de collocation est immédiate.
-
La discrétisation (et résolution) du
problème pour des jeux de points de collocation
non-équidistants suit exactement le même chemin,
le seul petit travail supplémentaire concerne
l'emploi de stencils (et
matrices de
dérivations correspondantes) variant celon
la valeur nodale autour de laquelle on les applique.